nr. sieben: Ostern 2018

In der zeitlosen Ewigkeit

Gibt es einen Anfang? Gibt es ein Ende? Kann eine Unendlichkeit größer sein als die andere? Wer die Unendlichkeit verstehen will, hat sich viel vorgenommen – und am Ende mehr Fragen als Antworten.

Um das Ende vorwegzunehmen, sei vor dem Anfangen gewarnt. Denn alles Nachdenken über die Unendlichkeit führt unweigerlich zu ihr selbst, einer nicht enden wollenden Folge von Fragen und Antworten, die wiederum neue Fragen aufwerfen. Es ist, als ob sich mit der Zunahme des Wissens auch das Nichtwissen vermehrt, je mehr wir wissen, desto mehr wissen wir wiederum nicht – und das betrifft wohlgemerkt vor allem die Klugen, denn wer kann die Dimension des Unwissens besser ermessen als die Wissenden? Zu Letzteren zählt, ganz ohne Frage, Albert Einstein, der sagte: „Zwei Dinge sind unendlich: das Universum und die menschliche Dummheit.“

„Unser Wissen kann nur endlich sein, während unser Nichtwissen notwendigerweise unendlich sein muss.“ Karl Popper, Philosoph

Zahlreiche kluge Köpfe haben sich über die Jahrtausende hinweg mit der Unendlichkeit beschäftigt. Aber egal, ob sie ihr mathematisch, astronomisch oder philosophisch begegneten, bleibt das Gefühl, dass auch sie das Phänomen nicht bis ins letzte Detail erfassen können. Liegt es an der Endlichkeit des Menschen, dass er sich mit dem Unendlichen schwer tut? Oder hat Aristoteles recht, der unser Unvermögen, sich vorzustellen, dass so etwas wie eine Zahlenfolge überhaupt ein Ende haben kann, zu den stärksten Argumenten für die Existenz des Unendlichen zählte? Auch der große Mathematiker Carl Friedrich Gauß hegte Vorbehalte der Unendlichkeit gegenüber. „Das Unendliche ist nur eine ‚façon de parler‘“ – mit anderen Worten eine Illusion. Der kritische Rationalist Karl Popper sagte: „Unser Wissen kann nur endlich sein, während unser Nichtwissen notwendigerweise unendlich sein muss.“ Kurzum: Ich weiß, dass ich nichts weiß – Sokrates hatte ja so unendlich recht.

Der Wettlauf zwischen Achilles und der Schildkröte

Einer, den neben vielen anderen die Unendlichkeit nicht mehr losließ, war Zenon, ein griechischer Philosoph, der – wie damals üblich – nicht nur Gedanken wälzte, sondern auch rechnete, forschte, beobachtete. Er wurde um 539 v. Chr. geboren und war ein Schüler des Parmenides. Dessen Lehre postulierte die Unveränderlichkeit des Seins, in dem jede Veränderung oder Bewegung lediglich eine Illusion darstellt. Zenon stellte sich nun vor, der damals schnellste Mann der Welt, Achilles, tritt zum Wettrennen gegen eine behäbige Schildkröte an. Er lässt ihr den Vortritt, was ein Fehler war, denn er würde sie nie mehr einholen – und das geht so: Immer, wenn Achilles einen Schritt macht, wird auch die Schildkröte einen gemacht haben. Das heißt, in Zenons Theorie erreicht Achilles zwar ihre vorherige Position, aber nie ihre aktuelle – es ist ein unendlicher Wettlauf.

Es ist unmöglich, einen Raum zu durchqueren, um ihn auf der anderen Seite durch die Tür zu verlassen. Zenon, griechischer Philosoph

In ein anderes Problem verbissen sich die Mathematiker mit der Erfindung der Mengenlehre: Können zwei Mengen an Unendlichkeiten unterschiedlich groß sein? Natürlich nicht. Oder doch? Ist zum Beispiel die unendliche Menge natürlicher Zahlen genauso groß wie die unendliche Menge gerader Zahlen? Ja klar, bewies der deutsche Mathematiker Georg Cantor, der Ende des 19. Jahrhunderts die Mengenlehre begründete. Schließlich sei es möglich, jeder einzelnen Zahl eine aus der anderen Menge zuzuordnen, was sich bis ins Unendliche fortführen lässt. 

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Wer endlos würfelt, kann zu jedem Ergebnis kommen. Foto: Bernd Thissen dpa

Knifflig wird es, wenn man die Menge der reellen Zahlen miteinbezieht. Diese lassen sich nicht mehr in Worte fassen, sie sind das Kontinuum auf einem Zahlenstrahl, unbenennbar und unabzählbar. Cantor folgerte: Diese „überabzählbare Unendlichkeit“ muss größer sein als die abzählbare. Und dazwischen – so seine Kontinuumshypothese – gebe es keine „mittleren“ Größen von Unendlichkeiten. Das wurde seither zwar bezweifelt, aber nie nachgewiesen. Erst vor kurzem nun gelang es den beiden von ihrem Ergebnis selbst überraschten Mathematikerinnen Maryanthe Malliaris und Saharon Shelah, zu beweisen, dass Cantor recht hatte. Bis auf Weiteres jedenfalls.

Kläglich scheiterte 2003 hingegen der Versuch, ein ganz anderes Theorem praktisch zu beweisen: Nach kurzer Zeit hatten die Affen das Tippen auf einer Tastatur satt und missbrauchten sie als Klo. Worum es ging? Émile Borel, französischer Mathematiker, hatte 1913 postuliert, dass Affen, die unendlich lange zufällig auf einer Schreibmaschine tippen, fast sicher irgendwann ein Werk aus der französischen Nationalbibliothek verfassen würden. Äußerst unwahrscheinlich zwar, aber nicht unmöglich.

„Die Menschen sind absolut nicht unendlich dumm.“ Josef M. Gaßner
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Josef M. Gaßner, Mathematiker und theoretischer Physiker, erklärt zusammen mit dem Philosophen und Physiker Harald Lesch in Büchern, TV-Beiträgen und Youtube-Videos die Welt. Foto: Gaßner/privat

Im Vergleich zu den literarischen Versuchen der Makaken im Zoo von Paington haben es die Trockennasenaffen der Spezies Mensch doch recht weit gebracht. „Ich muss eine Lanze brechen für die Menschheit“, sagt Josef M. Gaßner, Mathematiker und theoretischer Physiker, der zusammen mit dem Philosophen und Physiker Harald Lesch in Büchern, TV-Beiträgen und Youtube-Videos die Welt erklärt.

„Die Menschen sind absolut nicht unendlich dumm“, hält er dem Genie Einstein entgegen – auch wenn er kritisiert, dass sie noch immer mit ihrem veralteten Betriebssystem „Konkurrenz und Verdrängung“ unterwegs sind statt mit „Kooperation“. In wenigen tausend Jahren haben sie jedoch erstaunlich viele Erkenntnisse über die Welt und das Universum gewonnen. Was ihnen indes immer noch schwer falle, sei, die Dinge losgelöst von der Zeit zu betrachten. „Anfang, Ende und die Unendlichkeit sind untrennbar an die Zeit gekoppelt“, sagt Gaßner. Und die Zeit, immerhin das ist sicher, reicht nicht in die Unendlichkeit zurück. 

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Sie begann nach allerneuesten Rechnungen vor 13,82 Milliarden Jahren mit dem Urknall – dem „Tag ohne Gestern“. Er ereignete sich nicht an einem Punkt, sondern in allen Punkten. Das extrem heiße und verdichtete Universum trug von Beginn an alle Voraussetzungen für den gegenwärtigen Zustand in sich. Wie ein Hefeteig dehnt es sich seither aus, das quellende Nichts treibt die Rosinen – Galaxien, Planeten, Sterne – auseinander. Und dennoch: Von nichts kommt nichts – was also war davor? Gaßner: „Das Nichts, in dem durch Quantenfluktuation alles entsteht und vergeht, was sich aus Energie basteln lässt: Teilchen, Felder und Dinge, von denen wir heute noch gar nicht wissen, dass es sie gibt.“ Quantenfluktuationen sind, verkürzt ausgedrückt, Energieschübe im Nichts. Dass es sie tatsächlich gibt, wollen Physiker der Uni Konstanz 2017 gemessen haben. Da die Fluktuationen vollkommen reversibel seien, spiele die Zeit keine Rolle, so Gaßner, denn jedes Davor ist identisch mit jedem Danach.

Ist die Wahrscheinlichkeit größer als Null, ist alles drin – der Urknall aus dem Nichts genauso wie die Entstehung unserer Welt aus Elementarteilchen.

Und dennoch: Schauten wir nur lange genug zu in der zeitlosen Ewigkeit vorm Urknall, der übrigens ganz leise vonstatten ging, würde bei einer dieser Quantenfluktuationen zufällig mehr Energie einen Phasenübergang auslösen und das Richtige aufploppen: die 10 hoch 80 Elementarteilchen, die das Universum bilden. Es ist im Grunde wie bei den tippenden Affen von Borel: Ist die Wahrscheinlichkeit größer als Null, ist alles drin – der Urknall aus dem Nichts genauso wie die Entstehung unserer Welt aus Elementarteilchen. Man muss nur unendlich viel Zeit haben. Und Geduld, das weiß auch Woody Allen: „Die Ewigkeit dauert lange, besonders gegen Ende.“

Apropos Ende: Die Welt wird eins haben, wenn in 4,5 Milliarden Jahren die Sonne zum Roten Riesen geworden ist. „Bis dahin müssen wir längst weg sein“, sagt Josef M. Gaßner. Weg, in den unendlichen Weiten des Weltraums.

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Angelika Sauerer fand während ihrer Schulzeit die Mathematik unendlich langweilig und absolut unverständlich. Das änderte sich schlagartig, als ihr Sohn begann, ihr seinen Mathestoff zu erklären. Schwierig blieb die Materie dennoch.

Text: Angelika Sauerer
Titeloptik: Fotolia © Lightfield Studios
Fotos: pakpong pongatichat/stock.adobe, Bernd Thissen/dpa,
Gaßner/privat, dpa-Infografik, NASA/ESA/dpa

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